素数的界说很简便，小学生齐懂【MDX-079】COS-PLE，但却有好多经典的数学未解之谜齐与它关系。
因此，素数在数论中的地位相配进攻。
咫尺，一个跟它关系的猜想，就被26岁的牛津大学在读博士生给贯通了。
这是匈牙利数学家最早在1930年代建议来的一个对于原始集的问题。
由于小哥用到的齐是已有论点，许精深学家齐被他的智慧尺度惊到了。
具体是什么，一齐来看。
（前线一些高能预警。。）
来自1935年的猜想
启航点，不知说念原始集（Primitive sets）这个见解世界熟不熟。
它和素数的界说差未几，指的是一组弗成彼此被整除的数字的集结，比如{6，28，496，8128}。
天然，这些数齐要大于1。
由于素数只可被1和它自身整除，那么任何素数组成的集结就属于一种寥落的原始集。
△ 图源Quanta Magazine
原始集这个见解是由匈牙利数学家Paul Erd?s在1930年代建议的，最早仅仅用于贯通发源于古希腊的无缺数。
固然它的界说很简便，但围绕着它也产生了一些很道理道理的属性。
比如你无法细目原始集到底有若干种组合，就比如在1-1000这些数中，占去一半数目的501-1000，拿出其中纵容几个数字齐不错组成一个原始集，因为它们齐无法被彼此整除。
不外固然无法细目组合有多大，但Paul Erd?s发现对于任何原始集（包括无穷集），它的“Erd?s和”齐有上界，即小于或等于某个数字。
什么是“Erd?s和”？
即是对集结中的每个数字n求抒发式1/(n log n)的和，用公式抒发即是这样：
比如集结{2， 3， 55}，它的“Erd?s和”就等于 1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55)。
前边说到，“Erd?s和”是有界的，但咱们齐没法知说念最大的集结长什么样，这个界又何故清爽呢？
尽管如斯，1988年，Erd?s照旧给出了一个值，它猜想这个界为某个素数组成的原始集的和，为1.64。
这个猜想也把素数再次推上了“特立独行”的“风口浪尖”（这也即是标题里所说的“一个素数猜想”的具体含义了）。
几十年来【MDX-079】COS-PLE，数学家们在贯通这个猜想方面只获得了部分发达。
从大四战争到这个问题就被迷住了
牛津大学的博士生小哥Jared Duker Lichtman，从2018年运转战争到这个问题。
那会儿他照旧达特茅斯学院的别称大四本科生。
他回忆称，我方一下子就被这个猜想迷住了：“这样奇怪的猜想若何会是果真呢，太不可想议了吧？”
于是接下来的四年间，从本科到牛津大学读博，小哥就跟这个猜想“杠”上了。
先贯通了不大于1.78
谁能预想，2018年，他和他在达特茅斯学院的导师Carl Pomerance还真先一齐侧面贯通了原始集的“Erd?s和”不会大于1.78驾驭的猜想。
这个猜想是好意思国数学家弗兰兹·梅尔滕斯（Franz Mertens）建议来的。
他们算出这个常数的主义是先写下原始蚁合每个数字的倍数，然后将每个序列中这些倍数进行明白，出现了比刻下原始数的最大质因数还要小的因数，就要丢掉。
然后将剩余的数字组成一个新集结。
举个具体例子。
假如原始集为{2， 3， 5}，那么2的最大质因数是2，3的最大质因数是3，5的最大质因数是5。
系数2的倍数全部及格，因为它们齐是2的公倍数，莫得跳动2的质因数2；
系数3的倍数中，只有是素数2的公倍数（因为莫得跳动质因数3），齐要被扔掉，也即是6、12、18齐不对格；
系数5的倍数中，只有是素数2和3的公倍数(因为莫得跳动质因数5)，也要被pass，因此10、15、20、30不对格；
再比如55的倍数中，只有是素数2、3、5、7的公倍数，也要被pass，因为55的最大质因数为11。
△ 图源Quanta Magazine
牛津小哥将这种尺度比作字典的索引神气，只不外字典是按字母，这是按素数来组织每个序列。
得到新的集结后，他和导师又运转算这些倍数序列的“密度”。就拿系数偶数来说，它的序列“密度”即是为1/2，因为系数偶数占系数整数的一半。
然后啊，他们就不雅察到，要是给定的一个集结是原始集，那么系数倍数序列就不会重迭（overlap），因为他们的组合“密度”最多为1。
（为什么为1，因为整数的序列“密度”即是1。）
有了“密度”，就不错算集结的“Erd?s和”了，笔据弗兰兹·梅尔滕斯建议的定理，一个梗概等于1.78的寥落常数乘以集结倍数的组合“密度”，就不错得出原始集的最大“Erd?s和”。
由于小哥和导师贯通集结的“密度”最大为1，也就从侧面贯通了“Erd?s和”的最大值为1.78。
淫香小哥在牛津大学的导师对此维持有加，称小哥和原导师的尺度其实是Paul Erd?s率先尺度的一种变体，但它更精巧，得到了一个“not-tight”和“not-too-bad”的上界。
与此同期，世界觉得他们的这个尺度似乎仍是是咫尺最顶尖的数学家才不错作念到的。
再贯通1.64
好，告捷了一小步，接下来如何智商把界限收缩，贯通Erd?s给出的1.64呢？
小哥发现，他和前导师的那一套表面对于质因数较小的数字组成的原始集是灵验的，不错相比狂放地就贯通出来致使比1.64还小的常数。
不外质因数大了就不太行。
左想右想，转瞬到了博士三年齿，他发现不错给集结中的每个数字关联不啻一个倍数序列。
但和之前相同，系数这些序列的组合密度最多为1。
比如对于618这个数字（2 x 3 × 103）来说，按照过去的尺度不不错出现比103倍还小的倍数，但咫尺不错用比103倍还小的倍数组成序列，比如5倍。
（至于5倍照旧几倍，这齐是有一套拘谨限定决定的。）
接着他又找到了一种更准确地算出这些序列的组合“密度”的尺度。
最终，他仔细琢磨了原始集的多样情况，在具有最大质因数和最小质因的数字之间找到了一个均衡，将2018年和咫尺的两部分贯通凑合在一齐，最终贯通了“Erd?s和”小于1.64。
前后一共花了四年的小哥暗意，得出这个效用不知说念是气运好碰上了照旧啥，总之作念到了。
详备贯通进程仍是被他写成了论文发在了arXiv。
大概一番……险些是三行一个公式的情况。感趣味的数学大佬不错去望望。
罕有学家指出，牛津小哥这个贯通效用果真太引东说念主驻守了，因为他的尺度相配智慧，十足依赖于已有论点就作念到了。
与此同期，同业还暗意，这一贯通稳固了素数在原始集结中的寥落地位。
One More Thing
ps. 小哥有多强横，不错从世界的反馈侧面感受到。
就比如有网友通过小哥的个东说念主主页扒到他列出的最近出书物，发现从2018年到咫尺一共有至少18篇。
才读到博士就有这样多论文，这一数字让世界相配战栗。
但有东说念主就站出来暗意了：不及为奇，毕竟天才即是天才啊。（手动狗头）
论文地址：https://arxiv.org/abs/2202.02384
参考聚合：[1]https://www.quantamagazine.org/graduate-students-side-project-proves-prime-number-conjecture-20220606/[2]https://news.ycombinator.com/item?id=31640297【MDX-079】COS-PLE